Match Equity

Av Geir Skoglund

Å gjøre de korrekte valgene med kuben (doblingsterningen) er en av de største utfordringene i Backgammon - særlig når man spiller en serie av matcher. Om man skal doble eller ta imot en dobling er ofte avhengig av stillingen i matchserien. For å mestre dette er det dessverre ingen vei utenom litt tallknusing og sannsynlighetsregning.


Heldigvis finnes det tabeller å forholde seg til, med den medfølgende ulempe at man må pugge litt. Dette er et område hvor mange faller av eller rett og slett ikke gidder. Desverre betyr det at man samtidig gir et stort overtak til de som har giddet. Selv skriver jeg denne artikkelen som et ledd i mitt eget strev etter å forstå hvordan det henger sammen.

Gangen i det hele
I hovedsak består beregningen av tre deler:
  1. Finne equity (vinstsjanser for hele matchserien) etter at man har tatt imot en dobling (eller selv doblet) og etter at man har avslått en dobling. For å finne equity bruker man en tabell.
  2.  Bestemme vinstsjanse for partiet man spiller. Dette baseres på egen erfaring.
  3. Bruke equity og vinstsjanse for å bestemme hva man skal gjøre med kuben
Denne artikkelen handler om det første av disse punktene -- nemlig å finne equity. Det finnes flere forskjellig tabeller for dette. Den mest brukte er etter sigende Woolseys tabell, og det er den vi skal bruke her.

Finne equity
Når man skal finne equity ser man på hvor mange poeng man selv og motstanderen er fra å vinne matchserien, altså litt omvendt av hvordan man sier tingene i dagligtale. F eks: I en match til 7 hvor stillingen er 3-2 til deg tenker man på det som at du er 4-unna (4-away) og motstanderen er 5-unna. Årsaken til dette er åpenbar - det gjør at man kan behandle matcher i forskjellige størrelser på samme måte: 3-2 i en 7-poengsmatch blir behandlet som 1-0 i en 5-poengsmatch -- nettopp fordi man i begge tilfeller er 4-unna / 5-unna.

La oss se på eksempelmatchen vår (3-2 i 7-poengsmatch) i equitytabellen:

Kit Woolseys tabell
  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 50 70 75 83 85 90 91 94 95 97 97 98 98 99 99
2 30 50 60 68 75 81 85 88 91 93 94 95 96 97 98
3 25 40 50 59 66 71 76 80 84 87 90 92 94 95 96
4 17 32 41 50 58 64 70 75 79 83 86 88 90 92 93
5 15 25 34 42 50 57 63 68 73 77 81 84 87 89 90
6 10 19 29 36 43 50 56 62 67 72 76 79 82 85 87
7 9 15 24 30 37 44 50 56 61 66 70 74 78 81 84
8 6 12 20 25 32 38 44 50 55 60 65 69 73 77 80
9 5 9 16 21 27 33 39 45 50 55 60 64 68 72 76
10 3 7 13 17 23 28 34 40 45 50 55 60 64 68 71
11 3 6 10 14 19 24 30 35 40 45 50 55 59 63 67
12 2 5 8 12 16 21 26 31 36 40 45 50 54 58 62
13 2 4 6 10 13 18 22 27 32 36 41 46 50 54 58
14 1 3 5 8 11 15 19 23 28 32 37 42 46 50 54
15 1 2 4 7 10 13 16 20 24 29 33 38 42 46 50


Du er 4-unna (3 poeng i en 7-poenger) og motstanderen er 5-unna (2 poeng i samme match). Ved å følge tabellen fra 4 vannrett (det mørkegrå feltet) til der hvor den møter 5 loddrett finner du equity for stillingen slik den er nå. Equity er 58, dvs at det er 58% sjanse for at du vil vinne matchserien. Tenk litt over saken, så innser du at det ikke er hokus-pokus. Det er så enkelt som at statistisk sett vil den som leder 3-2 i en 7-poenger (husk: 4-unna / 5-unna) vinne matchen i 58% av tilfellene. Så vet man det...

I og med at hver kamp ender med at en av spillerene får minimum 1 poeng, så kan vi finne ut hva equity vil være dersom kampen ikke dobles (og vi ikke ender opp med en gammon). Vinner du blir stillingen 3-unna / 5-unna (4-2), hvilket gir en equity på 66%. Taper du blir  stillingen 4-unna / 4-unna, hvilket logisk nok gir en equity på 50%.

La oss nå si at motstanderen dobler deg. En dobling har tre mulige utfall (se bort fra gammon for nå) :
  1. Du tar ikke imot doblingen og taper dermed 1 poeng (4-unna / 4-unna): Equity 50%. 
  2. Du tar imot doblingen og vinner matchen (5-2 = 2-unna / 5-unna): Equity 75%
  3. Du tar imot doblingen og taper matchen (3-4 = 4-unna / 3-unna): Equity 41%
Vi har nå funnet ut det vi trenger fra tabellen. Mange tall og fortsatt forvirrende, men det er en forståelig gang i det hele. Hold ut!


Skal man liksom måtte pugge hele jævla tabellen?
Det er på høy tid å ta en pause fra eksempelet vårt, og ta for oss det som var en åpenbar problemstilling for meg, og sannsynligvis også for deg: I tillegg til frustrasjonen over å lete seg frem til fire forskjellig equity-tall var min første reaksjon at det å pugge tabellen ville være håpløst. Ikke er jeg en datamaskin og ikke har jeg autistiske trekk. No can do!
I det jeg begynte å forsone meg med tanken på at jeg aldri ville bli hverken Norges- eller kretsmester i backgammon, og heller prøvde å trøste meg med at spillet er en hyggelig sosial greie om ikke annet, dukket en redningsmann opp fra det nattsvarte mørket. Det finnes nemlig noen svært smarte folk der ute, og en av dem er Neil Kazoross. Neil har rett og slett satt seg ned og snekre en egen bitteliten tabell som ved et trylleslag lar deg gjenskape tallene fra den store tabellen, med et avvik på opptil 1%. De fleste tallene iallefall. Neil har kort sagt gjort det  som tilsynelatende var en håpløs oppgave, overkommelig.

La oss se hvordan det fungerer.

Neil's Numbers
Den øverste raden viser poengene som traileren (den som ligger under i matchserien) mangler for å vinne. I eksempelet vårt gjelder det motstanderen, som er 5-unna. Den nederste raden viser prosentverdien hvert poeng er verdt for lederen (den som ligger foran i matchserien).

Neil's Numbers
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
10 9 8 7   6   5   4

Traileren i vårt eksempel er 5-unna. Vi ser at verdien under 5 i tabellen er 8. Husk at tallet 8 er prosentverdien for hvert poeng lederen er foran med. I vårt eksempel er lederen kun ett poeng foran, noe som gjør at verdien 8 beholdes. Hadde lederen vært to poeng foran ville vi doblet verdien til 16, osv.

Vi skal alltid legge til eller trekke fra verdien mot 50 avhengig av om vi leder eller trailer, noe som i vårt tilfelle gir 50 + 8 = 58. Hvis du sjekker den store tabellen ser du at det er korrekt for 5-unna / 4-unna. Videre sammenligning for de tre utfallene nevnt over viser at:
  1. Du tar ikke imot doblingen og taper dermed 1 poeng (4-unna / 4-unna): Differansen i poeng er 0: 0 x 9 = 0, derfor 50 + 0 = Equity 50%
  2. Du tar imot doblingen og vinner matchen (5-2 = 2-unna / 5-unna). Differansen i poeng er 3: 3 x 8 = 24, derfor 50 +24 = Equity 74%
  3. Du tar imot doblingen og taper matchen (3-4 = 4-unna / 3-unna) I dette tilfellet er det du som er traileren. 9 x 1 = 9, derfor 50 - 9 = Equity 41%
Som du ser kommer vi frem til samme resultat som med den store tabellen, med unntak av pkt 2 som hadde et avvik på 1%. Og den lille unøyaktigheten lever vi godt med!

Noen av trailer-tallene har ikke et tall under seg. Det gjelder 7, 9, 10, 12, 13 og 14.  Det man gjør med disse tallene er at man finner den riktige brøkdelen mellom de to tallene man har på hver side. Dvs at man under 7 regner med 6 1/2. Under 9 finner man tilsvarende 5 2/3, under 10 finner man 5 1/3, under 12 finner man 4 3/4 osv. Regnestykker med brøk er litt hardere å ta i hodet, men tro meg -- bare litt. La oss se på et eksempel.

Du leder 8-unna mot 12-unna. Hva er equity?

Siden det ikke finnes et tall under 12 vet vi at vi må frem med brøken, og ser at at vi ender opp med 4 3/4. Differansen i poeng er 4:
4 x 4 = 16 og 4 x 3/4 = 3, hvilket totalt gir oss 19
50 + 19 = Equity 69%
Sammenligner vi med 8-unna mot 12-unna i den store tabellen ser vi at tallet er helt korrekt.

Neil's tabell er lett å huske. De første 4 radene gir seg selv når man vet at alle gir en total på 13. det eneste man trenger å huske er:

"8 er 6, 11 er 5, 15 er 4"

Voila - vi kan regne equity! Med et par unntak, det ville jo være kjedelig hvis verden var så strømlinjeformet enkel som dette, eller hur?

Hva Neil ikke kan gjøre for deg
Hvis lederen er 1-unna eller 2-unna gir ikke tabellen til Neil bra nok utregninger. Sånn er det bare. Det betyr at det er lurt å pugge de to første radene i den store tabellen. Man trenger ikke pugge hele raden, iallefall ikke i første omgang. Hvor ofte tror du f eks at du vil havne i situasjonen 2-unna 9-unna? Sjelden nok til at iallefall jeg foreløbig ikke gidder å pugge så langt.
 
Til å begynne med nøyer jeg meg med 7, i håpet om at det vil være mer enn tilstrekkelig i de aller aller fleste tilfellene. Puggejobben blir da:

  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 50 70 75 83 85 90 91 X
X
X
X
X
X
X
X
2 30 50 60 68 75 81 85 X
X
X
X
X
X
X
X

Det er ikke nødvendig å pugge 1- og 2-kolonnen nedover, da denne bare er en motsats til raden bortover. Altså - i og med at 1-unna 4-unna gir 83, vet man at 4-unna 1-unna gir 17. Logisk nok, siden 83 + 17 = 100.

Oppsummert
Det vil kreve masse øvelse for å lære seg å finne equity når man sitter der over backgammonbrettet. Alle eksperter jeg har lest noe av er imidlertid enige om at det er en nøkkelfaktor for å håndtere kuben riktig -- hvilket igjen er en nøkkelfaktor for å vinne matchserier. Så har man egentlig noe valg hvis man ønsker å bli grusomt god?

Husk også at det vi har vært gjennom her ikke har en verdi i seg selv. Det er først når man bruker equity i sammenheng med pkt 2 og 3 i oversikten helt øverst i artikkelen, at man høster verdien av jobben med å beregne equity. Det er med andre ord mer å lære. Trøsten er imidlertid at den verste puggingen og hjernetrimmen er unnagjort når man har funnet equity. Sies det...